云顶娱乐游戏城|30岁就被学界"内定":这位天才有望统一代数与几何

2020-01-11 18:05:16

[摘要] 代数和几何不仅折磨着无数的中小学甚至大学生,它们之间扑朔迷离的关系也是上千年来数学家们的烦恼,很多著名的猜想至今仍悬而未决。就在最近,一位年轻有为的数学家让这两门学科的距离缩小到前所未有。他前卫革新的几何见解不仅有望统一数学的不同分支,还可能有助于解决数论领域中最深奥的问题之一:素数之谜。但对于纯数学家而言,距离终点还有一半的征程。

云顶娱乐游戏城|30岁就被学界

云顶娱乐游戏城,代数和几何不仅折磨着无数的中小学甚至大学生,它们之间扑朔迷离的关系也是上千年来数学家们的烦恼,很多著名的猜想至今仍悬而未决。看似毫不相关的两个数学分支,到底能否鹊桥相见呢?全世界的目光聚焦到了一位年轻的天才数学家身上,迷雾在辗转反侧中渐渐散开……

撰文 Gilead Amit

翻译 孙英特

审校 阿金 徐文慧

编辑 徐文慧

当小明的年龄是小红的两倍时,他正好跟小刚同年,那么当小刚的年龄是小明现在的两倍时,小红会是现在的自己年龄的几倍?

或者试试这个问题:两名农场主同时继承了一块正方形土地,其中包含了一片圆形耕地。在不知道土地和耕地具体尺寸,或者不知道圆形耕地具体位置的前提下,如何用一条直线将两者精确地一分为二?

看到这里,你可能已经捏了把冷汗,也可能拿出纸笔开始计算(等不及的话可以拉到文章末尾看答案)。这两个问题都能算作“数学”问题,但它们又明显不同。第一个是算术学问题,涉及的是从1、2、3一直往下数这样的数的性质。算术学关心的是独立事物之间的数量问题,而不是它们的形状或行为表现。另一个则是几何学问题,一门基于连续性思想的学科:例如线、面和其他可测量的几何对象的连续性,以及它们之间的空间关系。

长久以来,数学家都试图在这两门古老学科之间架起桥梁,想要构建某种大统一理论。就在最近,一位年轻有为的数学家让这两门学科的距离缩小到前所未有。他前卫革新的几何见解不仅有望统一数学的不同分支,还可能有助于解决数论领域中最深奥的问题之一:素数之谜。数学界最高奖项菲尔兹奖(the Fields medals)颁发在即,斩获奖章对这位年轻人来说如同囊中取物。

古希腊哲学家、数学家亚里士多德(Aristotle)曾写道:我们不能通过算术去证明几何问题。他认为几何能帮助解决算数问题也是无稽之谈。在当时,这个观点并无争议,却躲不过历史风霜的考验。与亚里士多德几乎同一时期的几何之父欧几里得(Euclid),没有依赖数字,而是用作图的方法将逻辑公理扩展到证明中。数字仿佛立于另一个时空,几何技巧求路无门。

这一状况持续到了 17 世纪,直到法国人勒内·笛卡尔(René Descartes)将代数技巧(解方程及活用抽象符号)与欧氏几何结合,破开了数字与几何间的坚冰。笛卡尔引入了坐标系的概念,即点、线、面能用坐标数值完美描述,让几何学家能够用代数方法求解几何问题。

这就像登陆月球的时候,我们终于能够以准确的角度和位置的将火箭发射出去。但对于纯数学家而言,距离终点还有一半的征程。比方说,一个圆可以用代数方程精确描述,可是根据方程的解描点作图得到的图形,永远都不得全貌。一旦改变坐标的单位系统(例如从 1 变成 π),就像纯数学家常做的那样,方程仍然成立,而绘图让人手足无措。

时间推移到 1940 年,另一个法国人安德烈·韦伊(André Weil)深受数字和几何间鸿沟的折磨。 在德军占领法国前的几个月,韦伊因为拒服兵役而被拘禁于法国鲁昂外的一所监狱中。福兮祸兮,监狱中的日子让反让他收获颇丰。在一封给妻子的信里,他写到:“如果只有在监狱中我才能更好地工作,可能每年都被关上两三个月才是我的最佳选择。”

韦伊渴望找到代数与几何间的“罗塞塔石碑”(Rosette stone,制作于公元前 196 年,用希腊文字、古埃及文字和当时的通俗体文字,刻记了古埃及国王托勒密五世登基的诏书,刻文被用来作为语言翻译用途),将一个领域内的真理转译到另一个领域。越过重重困难,韦伊发现了零星的线索。

这就涉及到了黎曼猜想(Riemann Hypothesis),一个人尽皆知的素数分布问题。人们早就觉得这个猜想应该有对应的几何解释。上世纪 30 年代,椭圆曲线已经得到代数证明。“与其弄清楚素数的分布,你可以转化为思考曲线上到底有多少个点。”来自伦敦帝国理工学院(Imperial College London)的数学家安娜•卡拉亚尼(Ana Caraiani)解释道。

韦伊证明了黎曼猜想同样适用于解更复杂的曲线,自古希腊时代就耸立在这两门学科之间的高墙,似乎终于要开始瓦解。纽约哥伦比亚大学(Columbia University)的迈克尔•哈里斯(Michael Harris)说:“韦伊的证明为代数几何学科建立了良好的基础,一举推翻亚里士多德当时的观点。

百万美元猜想

素数是在大于 1 的自然数中,除了 1 和自身外,无法被其他自然数整除的数。素数的数量无穷无尽,在实数轴上的分布似乎也毫无规律可言。 但在 1859 年,波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)提出黎曼猜想,预测素数出现的频率与简单的黎曼 ζ 函数紧密相关。

直到现在,黎曼猜想已经在前十万亿个素数上得到了证实,但仍未出现一个严格的证明。 为了突出这个问题的重要性,2000 年的时候,新罕布什尔州的克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将其列为七大千年数学难题之一,并第一个得出正确证明的人设立了 $1,000,000 美元的奖金。

战后年代,身处环境更舒适的芝加哥大学(University of Chicago),韦伊依然尝试努力解决这一素数谜题,但始终没有成功。随后,接力棒传到了亚历山大•格罗滕迪克(Alexander Grothendieck)手上, 他是二十世纪最顶尖的数学家之一,在上世纪 60 年代重新定义了代数几何学。

在一系列的学术创新之中,格罗滕迪克将一组整数称为“谱”,简记为 Spec(Z)。这个不可绘制的几何实体上的点与素数密切相关。如果你能弄清它的整体形状,或许就能洞悉素数的分布。如此这般,你便能建立一个横跨代数和几何的桥梁,直通黎曼猜想。

格罗滕迪克所寻求的 Spec(Z) 图形,完全不同于我们熟悉的任何几何对象,比如欧氏几何的圆形三角形,或是笛卡尔坐标系中的抛物线椭圆。 在这些平面上,一个点仅仅只是表面上的一个点,哈里斯说:“但是格罗滕迪克的点更像是从整个面的角度出发思考。”它涵盖了一个面的所有可能情况,比如在上面画一个三角形或者椭圆,或是甚至将其卷曲起来,好像包裹在一个球上。

如果上面的叙述已经让你云里雾里了,那再正常不过啦。即便是格罗滕迪克本人都没有试图去理解 Spec(Z) 的几何形状,更不要说去解决黎曼猜想。这时彼得•舒尔茨(Peter Scholze)登场了。

莫名其妙却前景光明

1987 年,舒尔茨出生在当时东德的德累斯顿,现年 30 岁,是波恩大学的教授。 他在自己的博士论文中垒起了构筑代数和几何间桥梁的第一块砖,成果发表于 2012 年,那时的他年仅 24 岁。文章中他大幅度地扩充了格罗滕迪克的几何思想,称之为状似完备几何学(perfectoid geometry)。他的研究建立在 p 进数(p-adics)的基础上,和素数紧密相连。这个理论的关键是:在舒尔茨的状似完备几何学中,一个质数能够由与之相关的一个 p进数来表示,类似于方程中的变量,由此,几何方法得以应用到代数领域中。

我已经很难再做更多的解释了。如哈里斯所言,舒尔茨的创新可以算作是“代数几何中最深奥难懂的概念之一”,这门学科一向有着各种概念的晦涩艰深的特性,大多数活跃的数学家也都常感不知所云。

尽管如此,在过去的几年中,舒尔茨和几位领域中的开创者已经使用这个方法,解决了代数几何中许多的难题,收获了极大的赞誉。他的合作伙伴卡拉亚尼说:“对一名数学家而言,舒尔茨真的是非常独特。能和他在同一领域工作我感到十分兴奋。

今年 8 月,全球的数学家将聚集在巴西里约热内卢,参加每四年举办一次的数学界盛宴。这场盛会最受人瞩目的就是菲尔兹奖,每次都会有四名 40 岁以下的数学家被授予这最高殊荣,而这一次,有一个人成为了众望所归。牛津大学(University of Oxford)的马库斯·杜·索托伊(Marcus du Sautoy)评论道:“假如彼得与今年菲尔兹奖失之交臂,我觉得唯一原因大概就是委员会觉得他太年轻了,还能再等个四年。”

各方面前景都一片光明,这让 Spec(Z) 和黎曼猜想的悬而未决看起来只能靠边站了。但是,考虑到格罗滕迪克革新的几何学,舒尔茨的新方法能够让他进一步研究其中的奥秘,就好像你在显微镜下检验 Spec(Z) 曲线上素数 p 所对应的点。当然了,要理解整个曲线或者证明黎曼猜想仍然道阻且长, 而他的工作给数学家们带来了希望:这个看似遥不可及的目标可能终将实现。“而这本身就是一个巨大的突破。”卡拉亚尼说道。

除此之外,这让代数与几何间的桥梁有了向不同方向构建的可能。半个世纪的前的 1967 年,当时 30 岁的普林斯顿数学家罗伯特·郎兰兹(Robert Langlands)试探性地给韦伊写了一封信,概述了一个宏伟的蓝图。“如果你愿意将其解读为纯粹的猜测,我会感激不尽,” 他写道,“或者你手边应该有个废纸篓。”

朗兰兹在他的信中提出,数学上两个差之千里的分支,数论(Number theory)和调和分析(Harmonic analysis)可能是相关的。信中包含的思想种子萌生成了朗兰兹纲领(Langlands program),一系列影响深远的数学猜想,也被一些数学家称为大统一理论,能够统一数学中三个核心学科:算术、几何和数学分析。其中数学分析是一门范围及其宽广的学科,包括了我们在学校中学习的微积分。包括舒尔茨在内的全球数百位数学家,都致力于完善这门学科。

朗兰兹猜想的完整版并不像黎曼猜想那样,可能很快就能被证明出来,但这个思想宝库中蕴含了很多惊人发现:就像费马大定理(Fermat‘s last theorem),在提出后过了 350 年,才在 1994 年被英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)证明,而这只是朗兰兹猜想中的一个特殊结果。最近,法国数学家洛朗•法尔格(Laurent Fargues)提出了一个新方法,以舒尔茨的研究为基础来理解朗兰兹纲领中与 p 进数有关的部分。有传言称,部分结果可能会展示在里约热内卢的盛会上。

今年 3 月,朗兰兹获得了另一个重量级数学奖,阿贝尔奖(Abel prize),以表彰他毕生的成就。“漫长的等待之后,朗兰兹思想的重要性才得到了认可,”卡拉亚尼说,“这个大奖未免来得有些迟了。”舒尔茨这次似乎不用等那么久。

p 进数:数论领域的新宠儿

几何和代数大统一研究的最新核心就是 p 进数,即任意给定的素数 p 的替代表示。从一个任意正整数创建出一个 p 进数,就要将这个整数表示成 p 进制的数,然后再反向表达。比如要把整数 20 表示成 2 进数的形式,你就先写出 20 的二进制表达 10100,然后再倒序来写,就是 00101。同样的,20 的 3 进数是 202,4 进数是 011。

p 进数的特点也会稍有不同,其中最明显的是数的“距离”问题:若两个数之差能够被 p 的多次幂整除,那么这两个数距离就“接近”,幂次越高,距离越近。例如,11 和 36 的 5 进数就很近,因为它们的差是 52。但 10 和 11 的 5 进数就相隔甚远。

在 p 进数发明后的几十年内,人们都只是将它当作“数学玩具”,觉得没有什么实际用处。直至上世纪 20 年代,德国数学家赫尔穆特·哈赛(Helmut Hasse)在二手书店里的某本小册子上看见之后,为其着迷不已。他意识到 p 进数指引了如何处理素数不可被其他数整除的特性,变成了解决复杂证明的一条捷径。

自此以后,p 进数就逐渐成为数论领域中的核心部分。怀尔斯在证明费马大定理的时候,几乎每一步都涉及了 p 进数的概念。

答案:小红会是她现在年龄的3倍;将土地和耕地的中心连线即可

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